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在高等数学中，函数的左右极限是研究函数在某一点连续性的重要概念。对于同一函数，在不同的点，其左右极限可能相等，也可能不相等。本文将总结求解同一函数左右极限的方法，并给出具体步骤。 总结来说，求解同一函数的左右极限，主要有以下几种方法：
- 代数法：适用于简单函数，通过直接代入数值计算左右极限。
- 因式分解法：对于较为复杂的函数，可以通过因式分解简化表达式，进而求解左右极限。
- 三角函数法：利用三角函数的性质，求解包含三角函数的左右极限。
- 分段函数法：针对分段函数，分别求解每段函数的左右极限。 以下是这些方法的详细描述：
- 代数法：将自变量趋近于某一点的值分别从左右两侧代入函数表达式，计算得到左右极限。例如，求解函数f(x) = (x^2 - 1) / (x - 1)在x = 1处的左右极限。从左侧趋近，即x → 1-，代入得f(x) → 0；从右侧趋近，即x → 1+，代入得f(x) → 2。因此，左右极限不相等。
- 因式分解法：对于含有复杂表达式的函数，可以尝试因式分解。如f(x) = (x^3 - 1) / (x^2 - 1)，在x = 1处，将分子和分母分别因式分解，得到f(x) = (x - 1)(x^2 + x + 1) / (x - 1)(x + 1)，化简后求解左右极限。
- 三角函数法：当函数中含有三角函数时，可以利用三角恒等式简化表达式。例如，求解f(x) = sin(x) / x在x = 0处的左右极限。由于sin(x)在x = 0处连续，可以直接代入得f(x) → 1。
- 分段函数法：对于分段函数，需要分别求解每段函数的左右极限。例如，对于f(x) = { x + 1, x < 0; 2x, x ≥ 0 }，在x = 0处，左侧极限为-1，右侧极限为0。 总之，求解同一函数的左右极限，需要根据函数的特点选择合适的方法。在实际应用中，这些方法往往相互关联，需要灵活运用。