矩阵乘一个向量等于什么

在数学和计算机科学中，矩阵与向量的乘法是线性代数的基本操作之一。简单来说，矩阵乘以一个向量，本质上是将这个向量通过线性变换，映射到另一个空间中。 具体地，假设我们有一个m×n的矩阵A，以及一个n维列向量x，它们的乘积y = Ax将得到一个m维的列向量y。这里的每个元素y_i（i属于[1,m]）都是矩阵A的第i行与向量x的点积。 数学上，这个运算可以这样表示： y = Ax 其中， y = [y_1, y_2, ..., y_m] A = [a_11, a_12, ..., a_1n; a_21, a_22, ..., a_2n; ...; a_m1, a_m2, ..., a_mn] x = [x_1, x_2, ..., x_n] 每一个y_i的计算方式如下： y_i = a_i1x_1 + a_i2x_2 + ... + a_in*x_n 这个过程实际上完成了两个重要的数学操作：线性组合和线性变换。线性组合体现在向量x的每一个分量都作为权重，与矩阵A的每一行的对应元素相乘后求和；而线性变换则体现在这个结果y给出了向量x在由矩阵A定义的新空间中的位置。 总结来说，矩阵乘以向量，得到的是一个经过特定线性变换后的新向量。这个新向量在原向量空间的基础上，通过矩阵定义的变换规则，被映射到了另一个可能维度不同的空间中。