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在数学分析中，导数有界是一个重要的性质，它能够保证函数在某些方面具有良好的表现。本文将探讨导数有界与函数一致连续性之间的关系，并给出相应的证明。 总结来说，如果一个函数在其定义域上的导数有界，那么这个函数在该定义域上是一致连续的。以下是详细的证明过程。 首先，我们需要了解一致连续的定义。一个函数f(x)在区间I上称为一致连续的，如果对于任意给定的ε>0，存在一个δ>0，使得对于I上的任意两点x和y，只要| x - y | < δ，就有| f(x) - f(y) | < ε。 现在，假设函数f(x)在区间I上可导，并且其导数f'(x)在I上有界，即存在一个常数M，使得| f'(x) | ≤ M对所有x∈I成立。 根据拉格朗日中值定理，对于区间I上任意两点a和b（a ≠ b），存在一个c∈(a, b)，使得f'(c) = (f(b) - f(a))/(b - a)。由于f'(x)有界，我们有| f'(c) | ≤ M。 接下来，我们选择一个ε>0，并根据一致连续的定义，需要找到一个δ>0。我们可以将δ设置为ε/M，这样对于任意的x和y（| x - y | < δ），我们有： | f(x) - f(y) | = | f'(c) (x - y) | ≤ M | x - y | < M(ε/M) = ε 这证明了函数f(x)在区间I上是一致连续的。 总结，如果函数的导数在其定义域上有界，那么这个函数在该定义域上必然是一致连续的。这一结论在分析学中有着重要的应用，有助于理解函数的局部行为和整体性质之间的关系。