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在数学分析中，函数的极值问题是一个重要的研究课题。极值可以帮助我们了解函数的性质和行为。本文将探讨函数何时具有极小值。
首先，我们需要明确什么是函数的极小值。如果在一个区间内，存在一点使得函数在该点的值小于或等于它附近所有点的函数值，那么该点称为函数的极小值点，对应的函数值称为极小值。
一个函数要有极小值，必须满足以下条件：
- 可导性：函数在极小值点处必须连续且可导。这是因为极值点往往是函数曲线的局部“转折点”，没有导数，我们就无法判断这个“转折”的性质。
- 导数为零：在极小值点处，函数的导数必须等于零。这是极值点的必要条件，但不是充分条件。
- 二阶导数检验：当一阶导数为零时，我们需要通过二阶导数来判断该点是极小值还是极大值。如果二阶导数大于零，那么该点为局部极小值点；如果二阶导数小于零，则为局部极大值点。
详细来说，设函数f(x)在点x_0处可导，且f'(x_0) = 0。如果： a) 在x_0点的左侧，f'(x) > 0，在x_0点的右侧，f'(x) < 0，那么f(x_0)是局部极大值。 b) 在x_0点的左侧，f'(x) < 0，在x_0点的右侧，f'(x) > 0，那么f(x_0)是局部极小值。 c) 如果二阶导数f''(x_0)存在且f''(x_0) > 0，那么f(x_0)为局部极小值；如果f''(x_0) < 0，那么f(x_0)为局部极大值。
综上所述，函数具有极小值的条件是：在极值点处一阶导数为零，二阶导数大于零。需要注意的是，这些条件只能保证函数在局部范围内有极小值，对于全局极小值，还需要其他方法进行判断。
在研究函数极值时，理解并应用这些条件对于解决实际问题具有重要意义。