最佳答案
在数学分析中，函数的导数是描述其变化率的一个重要概念。对于基本初等函数，如幂函数、指数函数、对数函数等，我们都有相应的导数公式。但对于分数函数，其导数表达式是怎样的呢？本文将对此进行探究。 分数函数的一般形式可以表示为 f(x) = g(x) / h(x)，其中 g(x) 和 h(x) 是关于 x 的两个不同的可微函数。根据导数的定义及商规则，分数函数的导数可以表示为： f'(x) = (g'(x) * h(x) - g(x) * h'(x)) / [h(x)]^2 这里，g'(x) 和 h'(x) 分别是 g(x) 和 h(x) 的导数。上述表达式即为分数函数的导数函数表达式。 具体推导过程如下： 1. 根据导数的定义，f'(x) = lim(Δx→0) [f(x+Δx) - f(x)] / Δx 2. 将 f(x) = g(x) / h(x) 代入上述定义中，得到 f'(x) 的表达式。 3. 使用极限运算，化简上述表达式，得到 f'(x) = (g'(x) * h(x) - g(x) * h'(x)) / [h(x)]^2。 值得注意的是，当 h(x) = 1 时，上述表达式就简化为 g'(x)，即此时分数函数的导数等于分子函数的导数。 总结，对于分数函数 f(x) = g(x) / h(x)，其导数函数表达式为 f'(x) = (g'(x) * h(x) - g(x) * h'(x)) / [h(x)]^2。这一结论在数学分析和工程计算中有广泛的应用。