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在数学分析中，我们经常需要对各种函数求导。对于正切函数（tan x），其导数是一个值得探讨的话题。本文将详细解释tan x的导数及其推导过程。
首先，让我们直接给出tan x的导数公式：tan x的导数是sec²x，其中sec x是x的余割函数，即sec x = 1/cos x。
要理解这个导数公式，我们首先需要回顾一下三角函数的基本关系。正切函数tan x定义为sin x除以cos x。由于我们需要求导数，因此会涉及到一些三角恒等式和求导法则。求导的基本规则告诉我们，对于形如f(x)/g(x)的函数，其导数可以通过(f'(x)g(x) - f(x)g'(x)) / g(x)²来计算。
应用这个法则到tan x = sin x / cos x，我们得到tan x的导数为：(cos x * cos x - sin x * (-sin x)) / cos²x。简化后，我们得到sec²x，因为cos²x - sin²x可以由三角恒等式sin²x + cos²x = 1转换成cos²x = 1 - sin²x，代入后得到1/cos²x，即sec²x。
值得注意的是，这个导数公式在除了x = π/2 + kπ（k为整数）的点处是有效的，因为这些点是tan x的不可导点，即cos x = 0的点。
总结来说，正切函数tan x的导数是sec²x。掌握这个公式不仅对数学分析有益，也对理解物理学中的振动现象和工程学中的信号处理有所帮助。