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竞赛图是图论中的一个重要概念，广泛应用于各类算法竞赛和实际问题中。在竞赛图中，分向量是一个关键的概念，它可以帮助我们分析图中各个节点之间的竞争力。本文将简要介绍如何计算竞赛图中的分向量。
首先，让我们总结一下分向量的定义及作用。分向量是指在一个竞赛图中，每个节点都对应一个非负实数，这些实数构成的向量。分向量的计算有助于我们判断图中的节点间的竞争关系，进而解决一系列相关问题，如最大独立集、最小支配集等。
接下来，详细描述分向量的计算方法。设竞赛图G=(V,E)，其中V为节点集合，E为边集合。以下是计算分向量的步骤：
- 令初始分向量为0向量，即对所有节点vi ∈ V，设初始值f(vi) = 0。
- 选择一个节点作为源点s，通常可以选择任意的节点，也可以根据问题的需求来选择特定的节点。
- 对图G进行拓扑排序，确保在排序中所有从节点u指向节点v的边(u,v)，在排序中u都出现在v之前。
- 在拓扑排序的基础上，按照以下规则更新分向量： a. 对于排序中的每个节点vi，如果vi是源点s，则跳过；否则，执行以下操作： b. 找到所有指向节点vi的节点集合In(vi)，即所有满足(u,vi) ∈ E的节点u的集合。 c. 对于每个节点u ∈ In(vi)，更新分向量f(vi) = max(f(vi), f(u) + 1)。
- 重复步骤4，直到分向量不再发生变化，此时的分向量即为所求。
最后，总结一下分向量的计算。分向量是竞赛图中一个非常有用的工具，通过计算分向量，我们可以更深入地理解图中节点间的竞争关系。虽然计算过程相对复杂，但通过上述步骤，我们可以有效地得到每个节点的分向量，为后续问题的解决提供便利。