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在数学分析中，可测函数与连续函数是两个重要的概念，它们在实变函数论中占据核心地位。本文旨在总结可测函数与连续函数之间的关系，并提供求解这类关系的方法。
首先，我们需要明确可测函数与连续函数的定义。一个实值函数在某个集合上的可测性意味着该函数在集合的任何可测子集上的取值都是可测的。而连续函数则是在其定义域内每一点都连续的函数，即在该点处的极限值等于函数值。
可测函数不一定是连续的，但连续函数必定是可测的。这是因为连续函数在任何开集上都是可测的，而开集是可测集的常见例子。因此，当我们探讨两者之间的关系时，主要关注的是如何从可测函数中识别出连续部分。
求解可测函数与连续函数关系的方法通常有以下几种：
- 利用勒贝格定理：如果函数在某个闭区间上可测，并且几乎处处有限，那么该函数可以分解为两个部分，一个连续部分和一个奇异部分。连续部分在整个区间上连续，而奇异部分在一个零测集上可以任意跳变。
- 使用积分论方法：通过对可测函数进行积分，可以得到一个连续函数的积分表示。在某些情况下，这个连续函数就是原函数的连续部分。
- 逼近方法：可以通过逼近可测函数的连续函数序列来求解连续部分。例如，可以使用有界变分函数序列逼近给定的可测函数。
总结而言，可测函数与连续函数之间的关系可以通过多种方法进行求解。虽然可测性是一个较强的条件，保证了函数在某些基本性质上的良好行为，但连续性则提供了更为直观的几何图像。通过上述方法，我们可以更好地理解和把握这两个概念之间的联系。