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在数学分析中，求解函数的原函数是一项基本技能，尤其在打算不定积分时尤为重要。本文将具体介绍怎样求解x²ex的原函数。 起首，我们须要明白原函数的不雅点。原函数指的是一个函数的不定积分，即F(x)是f(x)的一个原函数，当且仅当F'(x) = f(x)。对x²ex这个函数，我们请求其原函数。 求原函数的惯例方法是分部积分法。以下是求解x²ex原函数的具体步调：
- 设原函数为F(x)，即F(x) = ∫x²exdx。
- 利用分部积分公式，设u = x²，dv = exdx，则du = 2xdx，v = ex。
- 根据分部积分公式 ∫udv = uv - ∫vdu，我们有： ∫x²exdx = x²ex - ∫ex(2x)dx。
- 对左边的积分再次利用分部积分法，设u = 2x，dv = exdx，则du = 2dx，v = ex。
- 反复分部积分公式，掉掉落： x²ex - 2∫xexdx = x²ex - 2xex + 2∫exdx。
- 对∫exdx，我们晓得其原函数是ex本身，所以： F(x) = x²ex - 2xex + 2ex + C。
- 终极，x²ex的原函数为F(x) = x²ex - 2xex + 2ex + C，其中C是积分常数。 总结，求解x²ex的原函数经由过程分部积分法可能掉掉落处理。这个例子展示了分部积分在求解复杂函数原函数时的富强感化。控制分部积分法对深刻进修高等数学至关重要。