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在数学分析中，以天然底数e为底的对数函数的导数存在一个非常简洁的情势。本文将具体介绍怎样打算以e为底的对数函数的导数，并阐明其背后的数学道理。 起首，我们须要晓得对数函数的基本情势，即以e为底的对数函数为ln(x)。对数函数的导数表示该函数在某一点的瞬时变更率。对ln(x)，其导数为1/x。 具体地，我们可能经由过程导数的定义来证明这一点。导数的定义是函数在某一点的极限值，即当自变量趋近于该点时的变更率。对ln(x)在点x的导数，其定义如下： f'(x) = lim_Δx→0 [ln(x + Δx) - ln(x)] / Δx 利用对数的减法法则，我们可能将上式转化为： f'(x) = lim_Δx→0 ln[(x + Δx) / x] / Δx 因为当Δx趋近于0时，(x + Δx) / x趋近于1，我们可能进一步化简为： f'(x) = lim_Δx→0 ln(1 + Δx/x) / Δx 利用泰勒开展，我们可能将ln(1 + Δx/x)开展为： f'(x) ≈ Δx/x - (Δx)^2/(2x^2) + ... 在Δx趋近于0时，高阶项可能忽视不计，因此： f'(x) = 1/x 这就证明白以e为底的对数函数在恣意点x的导数是1/x。 总结，以e为底的对数函数ln(x)的导数为1/x。这一结论在数学分析跟工程打算中存在重要意思，因为它简化了对数函数导数的打算，并为后续的数学推导供给了便利。