原函数相减为什么等于面积

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在数学分析中,两个原函数的差可能提醒它们之间一个风趣的多少何性质——这个差值等于这两个函数在给定区间上的图形所围成的面积。 当我们探究两个持续函数f(x)跟g(x)时,它们在区间[a, b]上的原函数相减,即F(x) - G(x),其中F(x)是f(x)的一个原函数,G(x)是g(x)的一个原函数。根据牛顿-莱布尼茨公式,这个差值在区间[a, b]上的定积分可能表示为两个函数围成的面积。 具体来说,假如f(x) ≥ g(x)在区间[a, b]上恒成破,那么这个面积可能经由过程以下方法打算:∫(from a to b) [f(x) - g(x)] dx。这个积分的值现实上就是由曲线y = f(x)跟直线y = g(x)以及直线x = a跟x = b所围成的封闭图形的面积。 这种景象的直不雅阐明可能从两个方面来懂得。起首,当我们考虑一个函数的图形时,另一个函数的图形可能看作是鄙人方“增添”了前者的一部分。在这个增添的过程中,两个函数之间的地区构成了一个封闭的图形,其面积恰好等于两个原函数的差值。 其次,从物理角度来说,假如我们将f(x)跟g(x)看作是垂直间隔(比方高度),那么在区间[a, b]上,f(x)与g(x)之间的差值就代表了两个高度之间的“程度间隔”。当我们对这些程度间隔停止积分时,本质上是在打算持续的薄板堆叠起来的总体积,这个总体积在二维空间中表示为面积。 总结来说,原函数相减掉掉落的差值,不只是一个数学上的抽象不雅点,它还代表了两个函数在给定区间内图形的多少何属性——所围成的封闭图形的面积。这个发明为我们供给了一个从多少何角度懂得函数关联的新视角。