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天然对数函数ln x是数学分析中的一个重要函数，它在微积分中有着广泛的利用。本文将探究ln x的导函数及其性质。 起首，我们给出ln x的导函数的结论：ln x的导函数是1/x。这意味着，对恣意一个正实数x，ln x的渺小变更率（即导数）等于1除以x。 具体地，我们可能经由过程导数的定义来证明这个结论。导数的定义涉及到极限的不雅点，即当自变量的增量趋于0时，函数增量与自变量增量比值的极限。对ln x，其导数的定义如下： f'(x) = lim (ln(x+Δx) - ln(x)) / Δx Δx→0 利用对数的性质，我们可能将上式转化为： f'(x) = lim ln((x+Δx)/x) / Δx Δx→0 进一步化简得： f'(x) = lim [ln(1+Δx/x)] / Δx Δx→0 当Δx趋近于0时，ln(1+Δx/x)可能近似为Δx/x（因为ln(1+x)在x趋近于0时的极限是x），所以： f'(x) = lim 1/x Δx→0 因此，我们掉掉落了ln x的导数，即1/x。 总结来说，ln x的导函数是1/x，这一性质在数学分析中有侧重要的利用，比方在求解天然对数方程跟打算函数的积分时。控制这一性质，有助于我们更深刻地懂得天然对数函数的数学本质跟利用。