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传递函数是自动控制理论中的核心概念，它描述了系统的输入与输出之间的关系。特征根作为传递函数的重要组成部分，直接关系到系统的稳定性和动态性能。本文将详细介绍如何求解传递函数的特征根。
总结来说，求解传递函数的特征根主要有以下几种方法：时域分析法、频域分析法和劳斯-赫尔维茨准则。
首先，时域分析法是通过求解传递函数的微分方程来得到特征根的。具体步骤如下：将传递函数表示为微分方程的形式，然后将该微分方程转化为特征方程，最后通过求解特征方程得到特征根。
其次，频域分析法是利用系统的频率响应特性来求解特征根。它主要通过绘制伯德图或奈奎斯特图，分析曲线与坐标轴的交点（即极点）来确定特征根的位置。这种方法适用于分析具有复杂传递函数的系统。
劳斯-赫尔维茨准则是一种基于行列式的判别方法。它通过对传递函数的系数进行排列，构造出赫尔维茨矩阵，然后通过判断该矩阵的行列式符号来分析特征根的实部和虚部。若所有行列式均大于零，则系统稳定；若存在行列式小于零，则系统不稳定。
在实际应用中，选择合适的求解方法需要根据系统的复杂程度和精确度要求来确定。对于简单系统，时域分析法较为直观；而对于复杂系统，频域分析法和劳斯-赫尔维茨准则更为方便和高效。
总之，求解传递函数的特征根是分析自动控制系统稳定性的关键步骤。掌握不同的求解方法有助于我们更好地理解和设计控制系统。