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在数学分析中，反三角函数是一类重要的数学工具，尤其是在解决三角方程时。其中，arccosx作为余弦函数的反函数，其在数学和物理学中有着广泛的应用。本文将详细探讨arccosx的反函数导数及其性质。 首先，我们给出arccosx的反函数导数的结论：arccosx的反函数导数是 -1/√(1-x²)，其定义域为[-1, 1]。 arccosx定义在闭区间[-1, 1]上，其值域为[0, π]。当我们讨论其反函数的导数时，需要利用反函数的导数公式和原函数的导数之间的关系。根据链式法则，如果y = f(x)的反函数是x = f^(-1)(y)，那么f^(-1)(y)的导数是1/f'(x)。在余弦函数的情况下，f(x) = cosx，其导数f'(x) = -sinx。 由于arccosx是cosx的反函数，我们可以将cosx表示为arccosx的函数。因此，当y = arccosx时，x = cosy。接下来，我们对等式x = cosy求导，得到1 = -siny * dy/dx。从这个等式中，我们可以解出dy/dx，即arccosx的导数。 解得：dy/dx = -1/siny。由于y = arccosx，所以siny = √(1 - cos²y)。将y替换回arccosx，得到siny = √(1 - x²)。因此，arccosx的导数为-dx/dy = -1/√(1 - x²)，这正是我们要得到的结论。 总结来说，arccosx的反函数导数是 -1/√(1-x²)，这个结果在闭区间[-1, 1]内有效。理解这一导数对于深入掌握反三角函数的微积分性质具有重要意义。