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在数学的众多分支中，微积分无疑占有举足轻重的地位。导数作为微积分的基本概念之一，其应用广泛且富有深意。本文将探讨一个特定函数的导数——xln(1-x)，并解析其背后的数学原理。 首先，让我们总结一下这个导数的来源。对于函数f(x) = -xln(x)，我们可以通过求导的方式来得到其在x=1时的导数值。求导过程中，我们使用到链式法则和对数函数的导数规则，最终得到导数f'(x) = -ln(x) - 1。当x=1时，这个导数简化为xln(1-x)的形式。 接下来，我们将详细描述这一导数的推导过程。对f(x) = -xln(x)求导，我们需要应用以下两个基本规则：1. 对数函数的导数是1/x；2. 乘积法则，即(uv)' = u'v + uv'。将这两个规则结合链式法则，我们可以得到f'(x)的表达式。在求导过程中，我们得到-ln(x)是xln(x)的导数部分，而-x的导数是-1。将这两部分相加，我们得到f'(x) = -ln(x) - 1。当x=1时，由于ln(1) = 0，导数进一步简化为-1。然而，我们通常表达为xln(1-x)，这是因为我们考虑的是x趋近于1时的情况，而非x=1的精确值。 最后，我们来探讨这个导数xln(1-x)的数学意义。在概率论和统计学中，这个表达式经常出现在对数似然函数的导数中。此外，它在物理、工程和经济等领域的模型构建中也具有重要作用。这个导数帮助我们理解在某个变量变化时，函数变化的敏感度，即斜率的变化。 综上所述，导数xln(1-x)不仅是一个数学上的抽象概念，它在多个领域都有着实际的应用价值。通过对它的探讨，我们不仅加深了对微积分概念的理解，也领略了数学在现实世界中的美妙应用。