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向量法是解析几何中一种重要的解题方法，尤其在求解平面方程和计算点与平面之间的距离时具有显著优势。其基本思想是利用向量的线性运算和点线面的关系来进行求解。 首先，我们来总结一下向量法求解平面方程的步骤。给定平面上的三个点A(x1, y1, z1)，B(x2, y2, z2)和C(x3, y3, z3)，我们可以构造两个向量AB和AC。向量AB可以表示为B-A，向量AC为C-A。然后，我们通过向量AB和AC的叉乘得到法向量n。法向量n与平面垂直，因此平面的方程可以表示为n·(r - A) = 0，其中r为平面上的任意一点，A为已知点，·表示点积。 接下来，我们详细描述点与平面之间距离的计算方法。假设有一个点P(x, y, z)，我们要计算它到上述平面的距离。首先，我们计算向量AP，即P到A的向量。然后，我们利用点到平面的距离公式：距离d = |n·AP| / |n|，其中|n|是法向量的模长，|n·AP|是法向量与向量AP的点积的绝对值。 最后，我们再次总结向量法的应用。通过上述步骤，我们可以看到向量法不仅提供了一种求解平面方程的有效方法，而且也使得点与平面之间距离的计算变得简单和直观。这种方法在工程、物理学和计算机图形学等多个领域都有广泛的应用。 向量法的核心在于利用向量的性质，将复杂的几何问题转化为简单的代数运算，从而降低了问题的求解难度。