在微积分学中，函数的连续性和可微分性是两个基本概念。我们知道，连续性是指函数在某一点的邻域内，其函数值的变化不会超过某一限度。而可微分性则是指函数在某一点的导数存在且有限。很多人会有这样的疑问：为什么一个函数如果可微分，那么它一定连续呢？
首先，我们需要明确，连续性和可微分性虽然密切相关，但它们描述的是函数的不同方面。连续性关注的是函数图像的平滑性，而可微分性则更关注于函数在某一点的局部变化率。
让我们从定义出发来探讨这个问题。根据导数的定义，如果函数f(x)在点x=a处可微分，那么它在该点的导数f'(a)存在，意味着：
lim_((x->a)) (f(x) - f(a)) / (x - a) = f'(a)
这个极限存在且有限，表明当x趋近于a时，函数f(x)在a点的邻域内变化是平滑且可预测的。现在，我们来考虑函数在a点的连续性。
如果函数在某点可微分，那么在该点邻域内，函数的增量(f(x) - f(a)) / (x - a)将会随着x的趋近而趋近于一个固定的值（即导数f'(a)）。这意味着，当x无限接近a时，函数值的变化不会发生跳跃，因此，函数在a点连续。
反之，如果一个函数在某点不连续，那么在该点邻域内，函数值的变化至少会有一个突变点，这会导致导数的极限不存在或者无限大，从而该函数在这一点不可微分。
总结一下，可微分的函数一定连续的原因在于：导数的存在性和有限性保证了函数在其定义域内的任意一点都不会出现突兀的变化，保证了函数图像在这些点的连续性。
然而，需要注意的是，连续的函数不一定可微分。例如，绝对值函数在x=0处是连续的，但它在这一点不可微分，因为它的导数在这一点左侧和右侧是不同的。
在微积分的学习和应用中，理解函数的连续性和可微分性之间的联系是非常重要的。这不仅有助于我们更深入地理解函数的性质，还能在解决实际问题时，帮助我们选择合适的数学工具来进行分析和计算。