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函数的单调性是数学分析中的一个重要概念，它描述了函数值随自变量增加或减少而变化的趋势。本文将总结并详细描述确立函数单调性的几种方法。
首先，我们可以通过函数的导数来判断其单调性。如果函数在某区间内可导，且导数恒大于零（小于零），则函数在该区间内单调递增（递减）。
其次，对于不可导函数或区间，我们可以利用函数值的差分来判定单调性。具体来说，若对于区间内的任意两点x1和x2（x1 < x2），都有f(x1) ≤ f(x2)（f(x1) ≥ f(x2)），则函数在该区间内单调递增（递减）。
除此之外，还有以下几种方法可以帮助我们确立函数的单调性：
- 图像法：通过观察函数的图像，如果图像从左至右上升（下降），则函数单调递增（递减）。
- 增减性定义：直接根据单调性的定义，通过比较函数在区间内任意两点的函数值来判断。
- 中值定理：对于连续函数，如果在某区间内满足罗尔中值定理或拉格朗日中值定理的条件，可以利用定理来证明函数的单调性。
总结，确立函数的单调性有多种方法，包括但不限于导数判断法、差分判断法、图像法、增减性定义以及中值定理。在实际应用中，我们应根据函数的具体情况和所需精度，选择合适的方法来分析其单调性。