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共轭函数是数学分析中的一个重要概念，它在凸分析和优化问题中扮演着关键角色。本文将总结共轭函数的基本性质，并对其进行详细描述。 首先，共轭函数的定义是：设函数f在一定定义域上有定义，其共轭函数f定义为f(y) = sup{xy - f(x) | x属于f的定义域}。以下是共轭函数的一些主要性质：
- 对偶性：共轭函数具有对偶性质，即(f*)* = f。这意味着共轭函数的共轭函数是其本身。
- 凸性：若原函数f是凸函数，则其共轭函数f*也是凸函数。凸性是共轭函数的一个重要特征，保证了优化问题中的某些良好性质。
- 局部保号性：若f在x点可微且有f'(x) > 0，则f在y = f(x)处是递减的；反之，若f'(x) < 0，则f在y = f(x)处是递增的。
- 次可微性：若f是次可微的，则f*是凸函数且在f的次梯度方向上为线性函数。
- 共轭函数的闭图像性质：若f是闭函数，则f也是闭函数，且(f)* = f。这一性质保证了闭函数在共轭操作下的不变性。 综上所述，共轭函数的性质揭示了它在数学分析中的应用价值。通过对共轭函数的深入研究，我们不仅能够更好地理解优化问题，还能为解决实际问题提供理论支持。