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在数学中，函数图像的翻折和平移是两种基本的图形变换。这两种变换不仅使函数图像变得更加丰富多样，而且在解决实际问题时也具有重要意义。 函数图像的翻折，通常指的是函数关于某条轴或点的对称变换。具体来说，当函数f(x)关于x轴翻折时，得到的新函数为-f(x)；而关于y轴翻折，则是f(-x)。如果函数关于原点翻折，那么变换后的函数为-f(-x)。这种翻折变换不会改变函数的基本形状，但会改变其在坐标平面上的位置。 至于函数的平移，则是指将函数图像沿着坐标轴方向移动一定的单位距离。平移变换包括水平平移和垂直平移。水平平移是将函数图像向左或向右移动，形式为f(x±a)，其中a为正数时向右移，为负数时向左移。垂直平移则是将图像向上或向下移动，形式为f(x)±b，其中b为正数时向上移，为负数时向下移。 那么，函数何时会发生翻折和平移呢？一般来说，当函数的自变量或因变量前面有负号时，表明函数图像将发生翻折。例如，当给出函数y=-f(x)时，可以判断出原函数f(x)的图像将关于x轴发生翻折。同理，如果函数表达式变为y=f(-x)，则意味着原函数图像将关于y轴翻折。 而发生平移的情况往往与函数中的常数项有关。在函数f(x±a)或f(x)±b中，常数项a和b即表示了平移的距离。例如，函数y=f(x)+2表示将原函数图像向上平移2个单位，而y=f(x-3)则表示将图像向右平移3个单位。 总结来说，函数图像的翻折和平移是通过对函数表达式的直接观察来判断的。了解这些基本的图形变换，有助于我们更好地理解和应用函数的性质。