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在数学分析中，二元函数的连续性是一个基本而重要的概念。它描述了一个函数在某一点的邻域内，其函数值如何随着自变量变化而变化的情况。 简单来说，如果对于二元函数f(x, y)，在点(x0, y0)处无论x和y如何接近x0和y0，f(x, y)的值都无限接近于f(x0, y0)，那么我们就说函数f(x, y)在点(x0, y0)处连续。 更严格的定义是：对于任意给定的正数ε，都存在另一个正数δ，使得当点(x, y)满足0<|x-x0|<δ且0<|y-y0|<δ时，就有|f(x, y) - f(x0, y0)|<ε。这意味着，只要自变量在足够小的范围内变动，函数值的变动就可以任意小。 二元函数连续性的定义不仅仅依赖于函数在某一点的性质，还涉及到该点邻域内函数的整体表现。这种连续性在多元微积分中有着广泛应用，如在求解偏导数、计算二重积分等方面都扮演着重要角色。 总结而言，二元函数的连续性定义是对函数在某一固定点附近行为的一种描述，它保证了函数在该点的稳定性和可预测性，是分析多元函数性质的基础。