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对称群是代数结构中的一种重要概念，它在数学的各个分支以及物理学中都有着广泛的应用。简单来说，对称群是一组操作，这些操作作用在一个对象上，而对象在经过这些操作后保持不变。 在数学中，对称群通常用来描述几何形状的对称性。例如，一个正方形可以通过旋转和翻转等操作来得到与原来一样的位置和形状。这些操作就构成了正方形的对称群。更一般地，任何一组可以保持一个物体不变的变换都可以形成一个对称群。 对称群的数学定义是：设G是一个非空集合，如果G上定义了一个二元运算（通常取为乘法），满足封闭性、结合律和存在单位元及逆元，那么G与其二元运算组成的代数结构就是一个群。当这个群中的元素对应于某种几何变换时，它就是一个对称群。 详细来说，对称群具有以下几个特点：首先，它必须包含单位元，即存在一个操作使得对象不发生任何变化。其次，群中的每个元素都必须有一个逆元，这意味着任何操作都可以被“撤销”。此外，群操作还必须满足结合律，即无论怎样组合这些操作，得到的结果都是相同的。 在物理学中，对称群同样扮演着重要角色。例如，在量子力学中，系统的对称性通常与守恒定律相关联。一个典型的例子是动量守恒和空间平移对称性之间的关系。 总结来说，对称群不仅在数学中揭示了对象的对称性，同时在物理学中也是描述自然界基本规律的重要工具。通过研究对称群，我们可以更深入地理解世界的结构和秩序。