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在数学分析中，函数的极限是研究函数在某一点或者某一趋于无穷大的过程中性质的非常重要的一环。那么，函数究竟在什么情况下会存在极限呢？ 首先，我们需要明确，函数在某一点的极限存在，意味着当自变量趋近于该点时，函数值趋于一个固定的数值。以下几种情况是函数极限常见的存在场景：
- 连续函数在定义域内任意点的极限都存在。这是因为连续性保证了函数在该点的邻域内变化是平稳的，不会出现跳跃或者无限增大等现象。
- 在自变量趋近于某一点时，如果函数值无限增大或减小，但最终趋于一个固定的数值，此时函数在该点的极限也存在。这种情况下，函数在该点可能不连续。
- 当自变量趋于无穷大时，如果函数值趋于一个固定的数值，我们称函数在无穷远处存在极限。 详细来说，对于第一种情况，连续函数的极限存在性是最直接的。例如，对于多项式函数，由于其在整个定义域内都是连续的，因此它在任何点的极限都存在。对于第二种情况，一个典型的例子是函数在一点处的跳跃，比如分段函数在不同段之间的衔接点。虽然在这些点上函数不连续，但是极限仍然存在。至于第三种情况，比如某些有理分式函数，在自变量趋于无穷时，函数值可能趋于一个固定的数。 综上所述，函数极限存在的场景主要有连续函数的任意点、函数在某点的无限增大或减小过程以及自变量趋于无穷时。通过对这些场景的深入理解，我们能够更好地把握函数的性质，为后续的数学分析打下坚实的基础。