在数学分析中，二元函数的持续性是一个重要的不雅点。它描述了当自变量趋近某一点时，函数值的牢固性。一般来说，假如一个二元函数在某一点的邻域内，无论自变量怎样变更，函数值都保持绝对牢固，那么我们就说这个函数在该点持续。 二元函数的持续性断定重要基于以下三个方面：定义断定、导数断定跟极限断定。 起首，根据持续性的定义，假如二元函数f(x, y)在点P(x_0, y_0)持续，那么对恣意给定的正数ε，都存在一个δ，使得当0<|x-x_0|<δ且0<|y-y_0|<δ时，有|f(x, y) - f(x_0, y_0)|<ε。这就是说，只有自变量充足濒临点P，函数值的变更就不会超越ε。 其次，假如二元函数在某一点的偏导数都存在且持续，那么这个函数在该点持续。这是因为偏导数反应了函数在各个偏向的变更趋向。假如这些变更趋向在一点附近牢固，那么函数团体在该点也存在持续性。 最后，利用二元函数的极限不雅点也可能断定持续性。假如二元函数在点P(x_0, y_0)的极限值等于该点的函数值，即lim_{(x,y)→(x_0,y_0)} f(x, y) = f(x_0, y_0)，那么这个函数在点P持续。 总结来说，断定二元函数的持续性可能经由过程直接利用持续性的定义、利用偏导数的存在跟持续性以及经由过程极限的方法来实现。这些方法在现实利用中相互补充，为我们分析二元函数的性质供给了有力的东西。