在微积分学中，函数乘积的求导法则长短常重要的一个法则。它描述了两个函数相乘时，其导数与原函数导数之间的关联。简而言之，若有两个可导函数f(x)跟g(x)，则它们的乘积h(x) = f(x) * g(x)的导数，可能根据以下公式停止求解：
h'(x) = f'(x) * g(x) + f(x) * g'(x)
以下是对这一法则的具体证明。
设函数f(x)跟g(x)在点x处可导，根据导数的定义，我们有：
f'(x) = lim_Δx→0 [f(x + Δx) - f(x)] / Δx
g'(x) = lim_Δx→0 [g(x + Δx) - g(x)] / Δx
现在考虑函数h(x) = f(x) * g(x)，我们盼望求出h(x)的导数h'(x)。根据导数的定义，我们有：
h'(x) = lim_Δx→0 [h(x + Δx) - h(x)] / Δx
将h(x)代入上式，掉掉落：
h'(x) = lim_Δx→0 [f(x + Δx) * g(x + Δx) - f(x) * g(x)] / Δx
经由过程增加跟减去f(x) * g(x + Δx)跟f(x + Δx) * g(x)，我们可能将上式转化为：
h'(x) = lim_Δx→0 [f(x + Δx) * g(x + Δx) - f(x) * g(x + Δx) + f(x) * g(x + Δx) - f(x) * g(x)] / Δx
将其拆分为两部分：
h'(x) = lim_Δx→0 [f(x + Δx) - f(x)] / Δx * g(x + Δx) + lim_Δx→0 f(x) * [g(x + Δx) - g(x)] / Δx
因为f(x)跟g(x)在x处可导，上述极限存在，因此：
h'(x) = f'(x) * g(x) + f(x) * g'(x)
如许，我们就实现了函数乘积求导法则的证明。