在数学的众多函数中，有一类特其余函数——正比例函数，其情势平日表示为 y = k/x，其中 k 是一个常数。那么，什么样的函数的导函数会是正比例函数呢？ 起首，我们须要明白一点：正比例函数的导函数并不是另一个正比例函数，而是另一品种型的函数。具体来说，正比例函数 y = k/x 的导函数是一个特其余函数——标记函数，其情势为 y = -k/x^2，也可能看作是 k 乘以 x 的负二次幂。 为什么正比例函数的导函数是标记函数呢？这须要我们从导数的定义说起。导数在多少何上表示函数图像在某一点的切线斜率，而在物理上，它可能表示物体的瞬时速度。对正比例函数 y = k/x，其导数打算如下： 当 x > 0 时，f'(x) = d(k/x)/dx = -k/x^2 当 x < 0 时，同样有 f'(x) = -k/x^2 由此可见，无论 x 的正负，正比例函数的导数都遵守标记函数的情势，即 y = -k/x^2。这是一个非常风趣且独特的性质，因为大年夜少数函数的导数会跟着自变量的正负变更而改变标记，但正比例函数的导数却保持分歧。 其余，我们还可能从另一个角度懂得这一性质。在正比例函数的图像上，跟着 x 的增大年夜，函数值 y 增大年夜（x > 0）或减小（x < 0），但变更率（即导数）却一直是负的，并且跟着 x 的绝对值增大年夜而趋向于零。这恰是标记函数 y = -k/x^2 所描述的特点。 总结来说，正比例函数的导函数是一个标记函数，其情势为 y = -k/x^2。这一性质不只展示了数学的内涵美，并且在现实利用中也有广泛的意思，比方在物理学跟工程学中描述相干景象。