在数学中，正比例函数是一种特别范例的函数，其定义域内的恣意两个变量之间的关联可能表示为y=k/x的情势，其中k是常数且k≠0。本文将具体阐述怎样证明正比例函数在其定义域内是一个递减函数。
起首，我们须要明白递减函数的定义。一个函数f(x)在其定义域内是递减的，假如对恣意的x1跟x2（其中x1<x2），都有f(x1)>f(x2)。换句话说，跟着自变量的增加，函数值是递减的。
现在，我们来分析正比例函数y=k/x。为了证明它是递减的，我们须要考虑两个差其余点x1跟x2，并且假设x1<x2。根据正比例函数的定义，我们有：
f(x1) = k/x1 f(x2) = k/x2
为了比较f(x1)跟f(x2)的大小，我们可能打算它们的差：
f(x1) - f(x2) = k/x1 - k/x2 = k(x2-x1)/(x1x2)
因为x1<x2，那么x2-x1是一个正数。同时，因为x1跟x2都是正数（正比例函数的定义域平日为正数），x1x2也是正数。因此，k(x2-x1)/(x1x2)是一个正数除以另一个正数，这意味着f(x1) - f(x2)是正数，即f(x1) > f(x2)。
这证明白正比例函数在其定义域内，跟着自变量x的增加，函数值y是递减的。值得留神的是，当k为正数时，正比例函数在其定义域内现实上是递增的，但这并不影响我们证明k为正数时函数的递减性质。
总结来说，正比例函数y=k/x在其定义域内（k为正数时）是一个递减函数。这一结论对懂得跟利用正比例函数的数学性质至关重要。