【揭秘C语言FFT算法】高效实现快速傅里叶变换的奥秘

引言

疾速傅里叶变更（FFT）是一种高效的算法，用于将时域旌旗灯号转换为频域旌旗灯号。在数字旌旗灯号处理、图像处理跟通信体系中，FFT算法扮演着至关重要的角色。本文将深刻探究C言语中FFT算法的实现，提醒其高效性的奥秘。

傅里叶变更基本

团圆傅里叶变更（DFT）

团圆傅里叶变更（DFT）是傅里叶变更在团圆旌旗灯号上的利用。它将一个旌旗灯号从时域转换到频域，提醒旌旗灯号的频率因素。DFT的数学公式如下： [ X(k) = \sum_{n=0}^{N-1} x(n) \cdot e^{-j \cdot 2\pi \cdot k \cdot n / N} ] 其中，( X(k) ) 是频率域旌旗灯号，( x(n) ) 是时光域旌旗灯号，( N ) 是旌旗灯号的长度。

疾速傅里叶变更（FFT）

疾速傅里叶变更（FFT）是一种高效打算DFT的算法，可能将打算复杂度从 ( O(N^2) ) 降落到 ( O(N \log N) )。FFT的核心头脑是分治法，将一个大年夜成绩剖析为多个小成绩逐步处理。

C言语实现FFT的步调

1. 定义双数构造

在C言语中，不内置的双数范例，我们须要定义一个双数构造来表示双数。

typedef struct {
    double real;
    double imag;
} Complex;

2. 双数的基本操纵

实现双数的加法、减法、乘法跟除法函数。

Complex add(Complex a, Complex b) {
    Complex result;
    result.real = a.real + b.real;
    result.imag = a.imag + b.imag;
    return result;
}

Complex sub(Complex a, Complex b) {
    Complex result;
    result.real = a.real - b.real;
    result.imag = a.imag - b.imag;
    return result;
}

Complex mul(Complex a, Complex b) {
    Complex result;
    result.real = a.real * b.real - a.imag * b.imag;
    result.imag = a.real * b.imag + a.imag * b.real;
    return result;
}

Complex div(Complex a, Complex b) {
    Complex result;
    double denom = b.real * b.real + b.imag * b.imag;
    result.real = (a.real * b.real + a.imag * b.imag) / denom;
    result.imag = (a.imag * b.real - a.real * b.imag) / denom;
    return result;
}

3. 位反转

在FFT算法中，数据须要按照二进制位反转的次序停止处理。位反转函数可能自定义实现。

int reverseBits(int n, int bits) {
    int reversed = 0;
    for (int i = 0; i < bits; i++) {
        reversed = (reversed << 1) | (n & 1);
        n >>= 1;
    }
    return reversed;
}

4. 蝶形运算

蝶形运算是FFT算法的核心部分，包含双数乘法跟加法，其情势类似于蝴蝶的外形，因此得名。

void butterfly(Complex x[], int n) {
    for (int i = 0; i < n / 2; i++) {
        Complex t = mul(x[i + n / 2], x[0]);
        x[i + n / 2] = sub(x[i], t);
        x[i] = add(x[i], t);
    }
}

5. 递归实现

递归实现是FFT算法的经典方法，它经由过程递归挪用本身来处理剖析后的子成绩。

void fft(Complex x[], int n) {
    if (n <= 1) return;
    Complex even[n / 2];
    Complex odd[n / 2];
    for (int i = 0; i < n / 2; i++) {
        even[i] = x[2 * i];
        odd[i] = x[2 * i + 1];
    }
    fft(even, n / 2);
    fft(odd, n / 2);
    for (int k = 0; k < n / 2; k++) {
        Complex t = mul(x[0], cexp(-2 * M_PI * I * k / n));
        x[k] = add(even[k], mul(t, odd[k]));
        x[k + n / 2] = sub(even[k], mul(t, odd[k]));
    }
}

总结

经由过程以上步调，我们可能利用C言语实现FFT算法。FFT算法的高效性在于其利用了DFT的对称性跟周期性，经由过程分治法将打算复杂度从 ( O(N^2) ) 降落到 ( O(N \log N) )。这使得FFT算法在数字旌旗灯号处理、图像处理跟通信体系中掉掉落了广泛利用。