等差数列求和公式推导

推导过程

（1）假设公差为d的等差数列前n项和为Sn：

S n=a1+a2+a3+——·+an

（2）将数列中的每一项倒序排列，并将等差数列的规律添入：

S n=a1+(a1+d)+(a1+2d)+——·+[a1+(n-1)d]

（3）将公式中的每一项添上第一项和最后一项，然后全部除以2：

S n={a1+a1+(n-1)d}×n/2

（4）根据等差数列的通项公式，将公式中的a1和an用n和d代替：

S n={n[a1+ a1+(n-1)d]} / 2

（5）为了让公式更加通用，将a1+a1+(n-1)d的和记为2a1+(n-1)d：

S n={n[2a1+(n-1)d]} / 2

即可得到等差数列求和公式。因此，对于任意长度为n的等差数列，可以使用公式S n={n[2a1+(n-1)d]} / 2来求和。

用倒序相加法。等差数列前n项和等于（首项+尾项）×项数÷2，根据通项公式第n项等于首项+（n-1）×公差，也可以得到等差数列前n项和等于n×首项+n(n-1)d÷2。

对于首项为$a_1$，公差为$d$，共有$n$项的等差数列，其前$n$项和为$S_n$。下面是等差数列求和公式的推导过程：

首先，我们可以将该等差数列逆序排列，得到：$a_n$, $a_{n-1}$, $\dots$, $a_2$, $a_1$。则原等差数列的每一项$a_k$与逆序排列的每一项$a_{n-k+1}$之和都为$(a_k+a_{n-k+1})$。

因此，原等差数列前$n$项和可以表示为：

$$

S_n = a_1 + a_2 + \cdots + a_n

$$

将逆序排列的等差数列代入，得：

$$

S_n = a_n + a_{n-1} + \cdots + a_2 + a_1

$$

将两个等式相加，有：

$$

2S_n = (a_1 + a_n) + (a_2 + a_{n-1}) + \cdots + (a_n + a_1)

$$

由于它们是成对的，因此上式相加得：

$$

2S_n = \underbrace{(a_1 + a_n) + (a_2 + a_{n-1}) + \cdots + (a_{\frac{n}{2}} + a_{\frac{n}{2}+1})}_{\frac{n}{2}\text{项}}

$$

其中，括号中的括号代表相加的一组成对的数值。

如果$n$为奇数，那么上式中的最后一项为$(a_{\frac{n+1}{2}}+a_{\frac{n+1}{2}})=2a_{\frac{n+1}{2}}$。

因此，得到等差数列前$n$项和的公式为：

$$

S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) = \frac{n}{2}(2a_1 + (n-1)d)

$$

这就是等差数列求和公式的推导过程。该公式适用于任意首项和公差已知的等差数列求和。