向量形式二次函数如何求导

在数学中，对二次函数求导是一项基本技能，尤其在优化问题和机器学习中具有重要意义。向量形式的二次函数在处理多元问题时尤为方便。本文将介绍如何对向量形式的二次函数进行求导。 首先，我们简要回顾一下向量形式二次函数的一般形式。一个向量形式二次函数可以表示为：f(x) = 1/2 * x^T * A * x + b^T * x + c，其中x是n维向量，A是n×n的对称矩阵，b是n维向量，c是常数。 求导的基本步骤如下：

1. 对于x的每一个分量xi，分别对f(x)求偏导数。根据矩阵乘法的求导法则，我们得到：∂f/∂xi = 1/2 * (x^T * A)^T * e_i + b_i，其中e_i是第i个单位向量。
2. 由于A是对称矩阵，我们有(x^T * A)^T = x^T * A，因此简化后的偏导数为：∂f/∂xi = x^T * A * e_i + b_i。
3. 由于A * e_i实际上就是A的第i列，我们可以进一步简化偏导数为：∂f/∂xi = ∑(A_ij * x_j) + b_i，其中j从1到n。
4. 将所有分量的偏导数组合起来，得到梯度向量∇f(x) = [∂f/∂x1, ∂f/∂x2, ..., ∂f/∂xn]^T = A * x + b。 总结，对向量形式二次函数求导的过程主要涉及矩阵运算和偏导数的计算。通过上述步骤，我们可以快速得到二次函数的梯度，为后续的优化提供便利。 在实际应用中，如机器学习中的最小二乘法、支持向量机等算法，对向量形式二次函数求导是核心步骤之一。掌握这一技能，有助于深入理解和有效应用这些算法。