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向量点乘，又称内积，是线性代数中一种重要的运算方式。在二维或三维空间中，两个向量的点乘结果既是一个数值，也具有丰富的几何意义。 点乘的定义是这样的：对于两个向量 α 和 β，其点乘结果为 α ⊗ β = |α| |β| cos(θ)，其中 |α| 和 |β| 分别是向量 α 和 β 的模长，θ 是向量 α 和 β 之间的夹角。可以看出，点乘结果实际上是一个标量，而非向量。 从几何意义上讲，两个向量的点乘反映了它们在方向上的相似性。如果两个向量完全同向，cos(θ) = 1，此时点乘达到最大值；如果两个向量完全反向，cos(θ) = -1，此时点乘达到最小值；如果两个向量垂直，cos(θ) = 0，点乘结果为零。 点乘在计算机科学、物理学、工程学等领域有广泛的应用。例如，在计算机图形学中，点乘常用于计算光线与物体表面的夹角，进而确定光照强度；在物理学中，点乘可以描述力在某个方向上的分量；在机器学习中，点乘是计算两个高维向量相似度的基础。 总之，点乘是向量分析中不可或缺的部分，它不仅揭示了两向量在方向上的关系，还在多个学科领域发挥着至关重要的作用。