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在数学分析中，函数极限是基本而重要的概念。函数极限的存在意味着当自变量趋近于某一点时，函数值趋向于一个确定的值。以下是几种常见的方法来证明函数极限存在。
总结来说，证明函数极限存在主要有直接证明、夹逼定理、数列极限与函数极限的关系等几种方法。
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直接证明：若能直接从函数表达式出发，通过代数变换或逻辑推理，得出当自变量趋向某一点时，函数值趋向某一确定的数值，则可以证明函数极限存在。例如，对于函数f(x) = (x^2 - 1)/(x - 1)，当x趋向于1时，可以通过代数变换得出极限为2。
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夹逼定理：当无法直接求出函数的极限值时，可以使用夹逼定理。如果存在两个函数g(x)和h(x)，在自变量趋向某一点时，它们的函数值均趋向于同一个数值L，并且在这一点附近，函数f(x)的值始终被g(x)和h(x)的值夹在中间，即g(x) ≤ f(x) ≤ h(x)，那么可以断定f(x)的极限也存在，且等于L。
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数列极限与函数极限的关系：如果可以找到一个数列{a_n}，其各项对应自变量趋向某一点时，函数值趋向于同一个数值L，则可以认为函数在该点的极限存在。这是因为数列极限与函数极限本质上是一致的。
通过以上几种方法，我们可以在不同情况下证明函数极限的存在。需要注意的是，在证明过程中，要严格遵循数学逻辑，确保每一步推理的严密性。
总之，函数极限的证明是数学分析中的一个重要内容，理解并掌握不同的证明方法对于深入理解和应用极限理论具有重要意义。