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在三维空间中，点到平面的距离是一个常见的几何问题。向量法是解决这一问题的有力工具，它不仅步骤简洁，而且易于理解。以下是使用向量法求解点到平面距离的详细步骤。
首先，我们需要明确问题的数学模型。设点P的坐标为(x0, y0, z0)，平面的一般方程为Ax + By + Cz + D = 0。我们的目标是求点P到这个平面的距离d。
向量法的基本思想是将点P到平面的垂线看作是平面上任意一点Q到点P的向量减去点P到平面上的垂线段向量。具体步骤如下：
- 选择平面上的一个基点Q，可以取平面方程中x, y, z的系数A, B, C的相反数除以平面方程的常数项D，即Q的坐标为(-D/A, -D/B, -D/C)。
- 计算向量PQ，即PQ = Q - P。
- 计算法向量n，由于平面方程的系数A, B, C即为法向量的分量，所以n = (A, B, C)。
- 利用点乘公式，计算向量PQ在法向量n上的投影长度，即距离d = |PQ · n| / |n|。
- 化简得到d = |Ax0 + By0 + Cz0 + D| / √(A^2 + B^2 + C^2)。
总结来说，使用向量法求点到平面的距离，关键在于计算点P到平面的垂线段长度。通过以上步骤，我们可以轻松求解这一问题。这种方法不仅适用于数学计算，而且在物理学、计算机图形学等领域也有广泛的应用。
需要注意的是，这种方法要求平面方程是标准化的，即法向量是单位向量。如果不是，需要先对平面方程进行归一化处理。