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分布函数是概率论与统计学中的一个基本概念，它能够完整地描述一个随机变量的概率分布特征。简单来说，分布函数是指在随机试验中，随机变量取值小于或等于某一特定值的概率。 在数学上，分布函数通常用F(x)来表示，其定义如下：对于任意实数x和y（x ≤ y），分布函数F(x)描述的是随机变量X取值小于或等于x的概率，即F(x) = P(X ≤ x)。 分布函数具有以下几个重要性质：首先，它是单调不减的，这意味着如果x ≤ y，则F(x) ≤ F(y)；其次，分布函数的取值范围在0到1之间，即0 ≤ F(x) ≤ 1；最后，随着x趋向于负无穷，分布函数的值趋向于0，而当x趋向于正无穷时，分布函数的值趋向于1。 通过分布函数，我们可以推导出随机变量的其他概率特征，如期望、方差等。此外，分布函数还能用于判断随机变量的类型，如连续型或离散型。对于连续型随机变量，分布函数是连续的，而对于离散型随机变量，分布函数则是阶梯状的。 总之，分布函数是一个强有力的工具，它不仅为我们提供了一种描述随机变量分布的方法，而且还允许我们分析和推断随机现象的内在规律。