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函数连续性是数学分析中的一个重要概念，它描述了函数图像在某一区间内没有突变或间断点的情况。 在数学上，如果一个函数在某一点的左右极限值相等，那么这个函数在该点就是连续的。更具体地说，设函数f(x)在点x=a的某一邻域内有定义，当x趋近于a时，若f(x)的极限值等于f(a)，即lim(x→a)f(x) = f(a)，那么我们称函数f(x)在点a连续。 函数连续性的直观意义在于，连续函数的图像是一条没有断裂的曲线，无论我们如何放大观察，都不会发现任何的跳跃或缺口。这对于函数的性质研究具有重要的意义，因为连续函数往往具有更好的性质，例如它们在某个区间内的值域是有界的，且能够保证中值定理的成立。 在实际应用中，连续性是函数可导性的必要条件。一个连续函数在某一点的导数如果存在，则表明在该点的切线是存在的，这意味着函数在这一点的局部行为是可以预测的。然而，连续性并不意味着函数一定是光滑的，因为即使连续的函数也可能存在尖点或转折点。 总之，函数连续性是函数分析中的一个基本概念，它保证了函数在某一区间内的平稳过渡，避免了突变或间断，这对于理解函数的本质和应用于实际问题至关重要。