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在数学中，特别是在线性代数领域，证明两个笛卡尔向量垂直是一个常见的问题。两个向量垂直的充要条件是它们的点积为零。以下是证明笛卡尔向量垂直的详细步骤。 首先，我们需要明确两个向量垂直的定义。在笛卡尔坐标系中，两个向量如果满足点积为零的条件，即(\vec{u} \cdot \vec{v} = 0)，那么这两个向量被认为是垂直的。 假设有两个向量(\vec{u} = (u_1, u_2, u_3))和(\vec{v} = (v_1, v_2, v_3))，我们要证明它们垂直。根据点积的定义，我们有： [\vec{u} \cdot \vec{v} = u_1v_1 + u_2v_2 + u_3v_3] 如果这个点积等于零，那么我们可以得出结论，向量(\vec{u})和(\vec{v})是垂直的。 以下是具体的证明步骤：
- 确定两个向量的坐标。这是证明过程的第一步，我们需要知道每个向量的分量。
- 计算点积。将两个向量的对应坐标相乘，并将乘积相加。
- 检验点积是否为零。如果结果是零，那么这两个向量垂直；如果不是零，则它们不垂直。 总结来说，证明笛卡尔向量垂直的方法就是计算它们的点积，并验证结果是否为零。这个方法不仅简单，而且非常直观地反映了向量之间的几何关系。 需要注意的是，这种方法仅适用于三维空间中的向量。对于更高维度的空间，点积的概念被扩展到内积，但基本的垂直判定原则仍然适用。