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在數學中，特別是在線性代數範疇，證明兩個笛卡爾向量垂直是一個罕見的成績。兩個向量垂直的充要前提是它們的點積為零。以下是證明笛卡爾向量垂直的具體步調。 起首，我們須要明白兩個向量垂直的定義。在笛卡爾坐標系中，兩個向量假如滿意點積為零的前提，即(\vec{u} \cdot \vec{v} = 0)，那麼這兩個向量被認為是垂直的。 假設有兩個向量(\vec{u} = (u_1, u_2, u_3))跟(\vec{v} = (v_1, v_2, v_3))，我們要證明它們垂直。根據點積的定義，我們有： [\vec{u} \cdot \vec{v} = u_1v_1 + u_2v_2 + u_3v_3] 假如這個點積等於零，那麼我們可能得出結論，向量(\vec{u})跟(\vec{v})是垂直的。 以下是具體的證明步調：
- 斷定兩個向量的坐標。這是證明過程的第一步，我們須要曉得每個向量的分量。
- 打算點積。將兩個向量的對應坐標相乘，並將乘積相加。
- 測驗點積能否為零。假如成果是零，那麼這兩個向量垂直；假如不是零，則它們不垂直。 總結來說，證明笛卡爾向量垂直的方法就是打算它們的點積，並驗證成果能否為零。這個方法不只簡單，並且非常直不雅地反應了向量之間的多少何幹係。 須要注意的是，這種方法僅實用於三維空間中的向量。對更高維度的空間，點積的不雅點被擴大年夜到內積，但基本的垂直斷定原則仍然實用。