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双曲正切函数是一个在数学中非常重要的函数，其反函数的求解也是数学分析中的一个常见问题。本文将详细介绍双曲正切反函数的求解方法。
首先，我们先来总结一下双曲正切函数的基本性质。双曲正切函数的定义是tanh(x) = sinh(x) / cosh(x)，其中sinh(x)和cosh(x)分别是双曲正弦和双曲余弦函数。双曲正切函数是一个奇函数，其定义域为实数集R，值域为(-1, 1)，且在原点处对称。
当我们求解双曲正切的反函数时，即要找到一个函数y = arctanh(x)，使得对于所有-1 < x < 1，都有tanh(y) = x。求解双曲正切反函数的步骤如下：
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对双曲正切函数tanh(x)求反：由于tanh(x)在(-1, 1)内是单调递增的，我们可以通过反解的方式来求其反函数。即令y = tanh(x)，然后解出x。
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利用自然对数：我们可以将双曲正切函数tanh(x)转换为自然对数的形式，即tanh(x) = (e^x - e^(-x)) / (e^x + e^(-x))。通过解这个方程，我们可以得到arctanh(x)的表达式。
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解出arctanh(x)：通过求解上述方程，我们得到arctanh(x) = (1/2) * ln((1 + x) / (1 - x))，其中x的取值范围为(-1, 1)。
最后，我们来总结一下。双曲正切反函数的求解关键是利用双曲正切函数的单调性和对数性质。通过这些数学工具，我们可以得到简洁的反函数表达式arctanh(x) = (1/2) * ln((1 + x) / (1 - x))。
需要注意的是，由于双曲正切函数的值域为(-1, 1)，其反函数的定义域也是(-1, 1)。当我们在实际应用中使用双曲正切反函数时，应确保输入值在正确的定义域内。