特征值相等为什么特征向量

在线性代数中，特征值与特征向量的概念至关重要。特征值表示的是矩阵在某个方向上的伸缩比例，而特征向量则指明了这一伸缩方向。通常情况下，一个特征值对应一个特征向量，但当一个矩阵的特征值相等时，情况就会有所不同。 总结来说，当特征值相等时，对应的特征向量并不唯一。这是因为，对于对称矩阵而言，如果存在重复的特征值，那么可以找到一组线性无关的特征向量，它们都对应于这个特征值。换句话说，如果特征值重复出现，其几何意义是矩阵在这些方向上的伸缩比例相同，而这些方向可以是相互平行的。 详细地，假设有一个n阶方阵A，且有一个特征值λ重复了k次。根据特征值和特征向量的定义，我们有(A - λI)x = 0，其中x是特征向量，I是单位矩阵。这个方程表明，存在非零解x，即存在特征向量。但是，如果λ重复了k次，那么这个方程实际上有k个线性无关的解，每个解都是一个特征向量。 这种现象的根本原因在于矩阵的秩和线性空间的维度之间的关系。一个矩阵的秩表示了它所占据的线性空间的维度，而特征值则是描述这个空间在某些方向上的伸缩能力。当特征值重复时，意味着在这些方向上矩阵的伸缩能力相同，因此可以沿着这些方向找到多组不同的向量，它们在A的作用下都得到相同的结果。 最后，总结一下，当特征值相等时，可以找到多组不同的特征向量，它们在矩阵变换下保持不变，这反映了矩阵在这些方向上的对称性和重复的伸缩能力。