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在線性代數中，特徵值與特徵向量的不雅點至關重要。特徵值表示的是矩陣在某個偏向上的伸縮比例，而特徵向量則指明白這一伸縮偏向。平日情況下，一個特徵值對應一個特徵向量，但當一個矩陣的特徵值相稱時，情況就會有所差別。 總結來說，當特徵值相稱時，對應的特徵向量並不唯一。這是因為，對對稱矩陣而言，假如存在重複的特徵值，那麼可能找到一組線性有關的特徵向量，它們都對應於這個特徵值。換句話說，假如特徵值重複呈現，其多少何意思是矩陣在這些偏向上的伸縮比例雷同，而這些偏向可能是相互平行的。 具體地，假設有一個n階方陣A，且有一個特徵值λ重複了k次。根據特徵值跟特徵向量的定義，我們有(A - λI)x = 0，其中x是特徵向量，I是單位矩陣。這個方程標明，存在非零解x，即存在特徵向量。但是，假如λ重複了k次，那麼這個方程現實上有k個線性有關的解，每個解都是一個特徵向量。 這種景象的基本原因在於矩陣的秩跟線性空間的維度之間的關係。一個矩陣的秩表示了它所佔據的線性空間的維度，而特徵值則是描述這個空間在某些偏向上的伸縮才能。當特徵值重複時，意味著在這些偏向上矩陣的伸縮才能雷同，因此可能沿著這些偏向找到多組差其余向量，它們在A的感化下都掉掉落雷同的成果。 最後，總結一下，當特徵值相稱時，可能找到多組差其余特徵向量，它們在矩陣變更下保持穩定，這反應了矩陣在這些偏向上的對稱性跟重複的伸縮才能。