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在数学分析中，反三角函数的导数是一个重要的概念。特别是对于arcsin(x)，亦即反正弦函数，其导数的求解不仅有助于理解该函数的几何意义，而且在实际应用中也有着广泛的作用。 那么，arcsin(x)的导数究竟是什么呢？我们可以这样总结：arcsin(x)的导数是1/√(1-x²)，其定义域为[-1,1]。 详细地，我们首先需要了解arcsin(x)的基本性质。arcsin(x)是sin(x)的反函数，其图像在[-π/2, π/2]区间内是一条连续且单调递增的曲线。当x在[-1,1]区间内变化时，arcsin(x)的值域也在[-π/2, π/2]内相应变化。 对于arcsin(x)的导数，我们可以通过复合函数的链式法则来求解。设y = arcsin(x)，那么sin(y) = x。对两边同时求导，我们得到cos(y) * y' = 1，这里y'表示y关于x的导数。由于在arcsin(x)的定义域内，cos(y) = √(1 - sin²(y)) = √(1 - x²)，因此，我们可以解出y' = 1/√(1 - x²)。这一结果在数学分析中经常被使用。 最后，让我们再次强调arcsin(x)的导数的重要性。这一导数不仅帮助我们理解反正弦函数的变化率，还在物理、工程等领域中解决涉及角度和正弦函数的问题时起到关键作用。 总之，arcsin(x)的导数是1/√(1-x²)，它是一个在[-1,1]区间内有定义的函数，对于深入理解反三角函数具有不可替代的价值。