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概率密度函数（Probability Density Function，简称PDF）是概率论与统计学中描述连续型随机变量在某一取值附近的概率密度的一种函数。在数学表述中，概率密度函数通常用符号f(x)来表示。 连续型随机变量与离散型随机变量不同，它可以在某个区间内取无限多个值，且每个值的概率为0。因此，我们不能直接用概率来描述其分布，而是通过概率密度函数来描述其在不同取值上的相对可能性。 在形式上，如果X是一个连续型随机变量，那么其概率密度函数f(x)具有以下性质：对于所有的实数x和x+Δx，f(x)满足以下条件：
- f(x) ≥ 0，对于所有的x；
- ∫[从负无穷到正无穷] f(x)dx = 1，即概率密度函数在整个定义域上的积分等于1；
- 对于任何区间[a, b]，随机变量X取值落在此区间的概率为P(a ≤ X ≤ b) = ∫[从a到b] f(x)dx。 在实际应用中，概率密度函数可以通过多种方式来表示，最常见的方法包括：
- 数学公式：直接给出概率密度函数的表达式，如f(x) = λe^(-λx)，其中λ是参数；
- 图形表示：利用图形展示概率密度函数的形态，如常见的正态分布曲线；
- 概率密度表：在某些情况下，可以通过表格的形式列出随机变量在不同取值下的概率密度值。 总结来说，概率密度函数是描述连续型随机变量分布特性的关键工具，它通过数学公式、图形和表格等形式，帮助我们理解和计算随机变量在不同取值上的相对概率。