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极限问题在数学分析中占有重要地位，而导数作为研究函数性质的基本工具，在求解某些类型的极限问题中发挥着关键作用。本文通过具体例子，演示如何使用导数求解极限。
首先，我们需要明确的是，并非所有极限问题都可以直接通过导数来解决，导数主要适用于求解形如「函数在某一点的极限」的问题。以下是一个典型例子：
例题：求函数f(x) = (x^2 - 2x - 3) / (x - 3) 当x趋近于3时的极限。
解法：直接代入x=3会导致分母为零，无法直接计算。此时，我们可以使用导数来帮助我们求解。首先对分子和分母分别求导，得到：
f'(x) = (2x - 2) / 1 和 g'(x) = 1，其中g(x) = x - 3。
由于我们需要求的是x趋近于3时的极限，因此我们可以利用导数的定义，即：
lim(x->3) [f(x)] = lim(x->3) [f'(x)] / lim(x->3) [g'(x)]（当g'(x)不为0时）。
由于g'(x)恒为1，我们可以直接计算f'(x)在x=3时的值，即：
f'(3) = (2*3 - 2) / 1 = 4。
因此，原函数在x趋近于3时的极限为4。
总结：通过导数求解极限是一种常见且有效的方法，尤其是当直接代入法失效时。这种方法不仅适用于简单的代数函数，还适用于更加复杂的情况，如三角函数、指数函数、对数函数等。求解过程中，关键在于熟练掌握导数的定义和性质，以及能够正确地求出函数的导数。
需要注意的是，导数求解极限并非万能，对于某些复杂的极限问题，还需要借助其他数学工具，如泰勒展开、洛必达法则等。