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在数学分析中，求解变上限定积分的导数是一个常见的问题。这类问题通常涉及到函数的积分上限是另一个变量的情形，其导数的求解可以借助莱布尼茨法则来实现。 莱布尼茨法则，也称为微积分基本定理的第二部分，提供了一个求解这类问题的简便方法。它表明，如果一个函数f(x)在区间[a, b]上连续，且其导函数f'(x)在区间内可积，那么变上限积分的导数可以通过以下公式求得： d/dx ∫[a, x] f(t) dt = f(x) 这意味着，积分上限为变量x的定积分的导数，实际上就是被积函数在积分上限处的函数值。 具体求解步骤如下：
- 确定被积函数f(t)以及在哪个区间上连续和可积。
- 确定积分上限为变量x。
- 应用莱布尼茨法则，计算变上限积分的导数，即求出f(x)。
- 验证结果，确保满足题目要求。 例如，设f(x) = e^t，求解变上限积分∫[0, x] e^t dt的导数。 d/dx ∫[0, x] e^t dt = e^x 在这个例子中，我们可以看到，导数就是被积函数在积分上限x处的值。 总结来说，求解变上限定积分的导数，关键在于正确应用莱布尼茨法则，将积分上限视为变量，然后直接求出被积函数在该变量处的函数值即可。