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在数学分析中，求证sinx的导数为cosx是一个基础且重要的课题。本文将详细描述这一过程的证明。
首先，我们需要明确导数的定义。导数描述了一个函数在某一点附近的变化率，对于函数f(x)在点x处的导数，记作f'(x)。对于sinx，我们要求证其导数为cosx。
证明sinx的导数为cosx，通常会使用极限的定义来求解。根据导数的定义，我们有：
f'(x) = lim_Δx→0 [sin(x+Δx) - sinx] / Δx
接下来，我们利用三角恒等式sin(A+B) = sinAcosB + cosAsinB来简化这个表达式：
f'(x) = lim_Δx→0 [sinxcosΔx + cosxsinΔx - sinx] / Δx
将sinx提出公因式，得到：
f'(x) = sinx * lim_Δx→0 [cosΔx - 1] / Δx + cosx * lim_Δx→0 sinΔx / Δx
注意到当Δx趋近于0时，[cosΔx - 1] / Δx趋近于0，因为cos(0) = 1。同时，lim_Δx→0 sinΔx / Δx等于1，因为这是正弦函数在0点处的导数。因此，我们得到：
f'(x) = sinx * 0 + cosx * 1 = cosx
这样，我们就证明了sinx的导数为cosx。
总结来说，sinx的导数是cosx，这一结论在数学分析和物理等多个领域都有着广泛的应用。通过导数的定义和三角恒等式，我们能够简洁地证明这一重要性质。