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在數學分析中，求證sinx的導數為cosx是一個基本且重要的課題。本文將具體描述這一過程的證明。
起首，我們須要明白導數的定義。導數描述了一個函數在某一點附近的變更率，對函數f(x)在點x處的導數，記作f'(x)。對sinx，我們請求證其導數為cosx。
證明sinx的導數為cosx，平日會利用極限的定義來求解。根據導數的定義，我們有：
f'(x) = lim_Δx→0 [sin(x+Δx) - sinx] / Δx
接上去，我們利用三角恆等式sin(A+B) = sinAcosB + cosAsinB來簡化這個表達式：
f'(x) = lim_Δx→0 [sinxcosΔx + cosxsinΔx - sinx] / Δx
將sinx提出公因式，掉掉落：
f'(x) = sinx * lim_Δx→0 [cosΔx - 1] / Δx + cosx * lim_Δx→0 sinΔx / Δx
注意到當Δx趨近於0時，[cosΔx - 1] / Δx趨近於0，因為cos(0) = 1。同時，lim_Δx→0 sinΔx / Δx等於1，因為這是正弦函數在0點處的導數。因此，我們掉掉落：
f'(x) = sinx * 0 + cosx * 1 = cosx
如許，我們就證明白sinx的導數為cosx。
總結來說，sinx的導數是cosx，這一結論在數學分析跟物理等多個範疇都有着廣泛的利用。經由過程導數的定義跟三角恆等式，我們可能簡潔地證明這一重要性質。