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分布函数是概率论与统计学中的一个核心概念，它能够完整地描述一个实随机变量的概率分布特性。 在数学上，一个随机变量的分布函数是指在实数轴上，随机变量取值小于或等于某一特定值的概率。形式化地，如果X是一个实随机变量，其分布函数F(x)定义为F(x) = P(X ≤ x)，其中P表示概率。 分布函数具有几个重要的性质。首先，它是单调不减的，即对于任意的实数x1和x2，如果x1 < x2，则F(x1) ≤ F(x2)。其次，分布函数的取值范围在0到1之间，即0 ≤ F(x) ≤ 1。此外，分布函数在正无穷大时趋于1，而在负无穷大时趋于0。 分布函数不仅包含了随机变量分布的全部信息，而且在实际应用中具有重要作用。例如，在统计学中，可以通过分布函数来推导期望、方差等描述性统计量；在质量控制中，分布函数可以帮助分析产品合格的概率；在金融领域，分布函数是评估风险和定价衍生品的基础。 总结来说，分布函数是理解和分析随机事件概率分布的关键工具，它不仅在理论研究中具有基础性地位，而且在多个领域的实际应用中也发挥着重要作用。