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向量数量积，又称点积，是数学中一种重要的向量运算。它描述了两个向量在某一方向上的投影长度乘积，反映了向量之间夹角的余弦值及其长度的关系。 在数学中，设有两个向量 α 和 β，它们的数量积定义为 α ⊗ β = |α| |β| cos(α, β)，其中 |α| 和 |β| 分别表示向量 α 和 β 的模长，cos(α, β) 表示向量 α 和 β 之间的夹角余弦值。从定义可以看出，当两个向量的夹角为0度（即同方向）时，数量积达到最大值；当夹角为90度时，数量积为0；当夹角为180度（即反方向）时，数量积达到最小值。 数量积具有多种几何和物理意义。在几何上，它可以用来判断两个向量是否垂直，如果两个向量的数量积为0，则它们垂直。在物理学中，力与位移的数量积可以表示力在位移方向上的做功。此外，数量积还与投影概念密切相关，一个向量在另一个向量上的投影长度等于其数量积除以另一个向量的模长。 总结来说，向量数量积是一个将向量大小与方向结合起来的运算，通过它可以深入理解向量之间的相互作用和几何关系。掌握向量数量积的概念，对于深入学习线性代数和工程应用具有重要意义。