如何證明法向量與平面垂直

在三維空間多少何中，法向量是一個與平面垂直的向量，它對懂得平面的性質跟停止多少何打算至關重要。本文將介紹怎樣證明一個向量是平面的法向量。 總結來說，一個向量如果平面的法向量，它必須滿意以下前提：與平面內的咨意一向量做點積為零。以下是證明這一點的具體步調。 起首，我們須要明白平面的定義。平面是一個無窮大年夜的二維多少何圖形，其上咨意兩點可能斷定一條直線，且平面內咨意一點到平面上咨意一點的連線都在該平面內。平面的方程平日表示為Ax + By + Cz + D = 0，其中A、B、C是法向量的分量，(x, y, z)是平面上的咨意一點。 接上去，設向量n = (A, B, C)為待證明的法向量，向量v = (x, y, z)為平面內的咨意一向量。根據點積的定義，向量n與向量v的點積為：n·v = Ax + By + Cz。 若向量n是平面的法向量，那麼對平面上的咨意一點，其坐標(x, y, z)都應滿意平面方程Ax + By + Cz + D = 0。因此，將平面方程中的點坐標代入點積公式，我們有：n·v = A(-D/A) + B*(-D/B) + C*(-D/C) = 0。 因為A、B、C是法向量的分量，它們不為零（不然平面退化為一條直線或點），我們可能簡化上述表達式為：n·v = -D - D - D = -3D。因為D是常數，-3D也為常數，當D為零時，點積天然為零；當D不為零時，我們只有確保-3D為零，即D為零，這並不影響法向量的定義。 因此，我們得出結論：若一個向量與平面內的咨意一向量做點積為零，則該向量是該平面的法向量，即它們垂直。 最後，總結一下，證明法向量與平面垂直的關鍵在於驗證它們之間的點積能否為零。這一方法不只在數學現實上謹嚴，並且在現實利用中也非常重要，如打算機圖形學、物理學等範疇。