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在數學分析中，函數的持續性跟可導性是研究函數性質的兩個重要方面。特別是對多變量函數，我們關注其各個變量偏向上的偏導數。當多變量函數在每個變量的偏導數都存在且持續時，我們稱該函數存在持續的一階偏導數。 持續的一階偏導數意味着函數在某一點的鄰域內，沿着各個坐標軸偏向的斜率不只存在，並且變更是安穩的，不忽然的騰躍或連續。如許的性質對函數圖形的膩滑性至關重要，也是很少數學現實跟工程利用中的基本請求。 具體來說，假設有一個定義在某個開集上的多變量實值函數f(x,y)。假如對該函數的每一個點(x,y)，我們都可能打算出對於x跟y的偏導數f_x跟f_y，並且這些偏導數在這一點上都是持續的，那麼我們就說f(x,y)在該點存在持續的一階偏導數。假如如許的性質在全部定義域內都成破，則函數在全部定義域內都存在持續的一階偏導數。 這一不雅點的重要性表現在以下方面：起首，持續的偏導數是偏導數存在的一個更強前提，它保證了函數在某點的部分行動不會因為導數的突變而變得複雜。其次，持續的一階偏導數是多變量函數可微性的一個須要前提，儘管不是充分前提。這意味着假如一個函數在全部定義域上都存在持續的一階偏導數，那麼它很可能在該域內是可微的。 總結而言，持續的一階偏導數是多變量函數在某點或某地區內的一個重要性質，它保證了函數在這些偏向上的部分變更是膩滑且易於懂得的。這一不雅點在微積分、優化現實、數值分析等範疇有着廣泛的利用。